京都大学 2019年度理系数学第6問解答・解説

問題

$i$ は虚数単位とする。 $(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} > 10^{10}$ をみたす最小の正の整数 $n$ を求めよ。

出典：京都大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

$1 + i$ 、 $1 - i$ を極形式で表し、和を $2 (2)^{n} cos (nπ /4)$ に直す。余弦の値は $n$ を8で割った余りだけで決まり、正になるのは $0, 1, 7$ の3種類である。それぞれの場合に値が2の何乗になるかを整理する。最後に $2^{33} < 1 0^{10} < 2^{34}$ を用い、 $n < 71$ の正の場合は最大でも $2^{33}$ で届かず、 $n = 71$ で $2^{36}$ となることを確認する。

解答

1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}), 1 - i = 2 (cos \frac{π}{4} - i sin \frac{π}{4})

である。したがって $(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} = 2 (2)^{n} cos \frac{nπ}{4}$ である。 $cos \frac{nπ}{4}$ は $n$ を8で割った余りで決まる。この値が正になるのは $n \equiv 0, 1, 7 (mod 8)$ のときである。それぞれの値は次のようになる。 $n \equiv 0 (mod 8)$ のとき、 $cos \frac{nπ}{4} = 1$ なので $(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} = 2^{n /2 + 1}$ である。 $n \equiv 1, 7 (mod 8)$ のとき、 $cos \frac{nπ}{4} = \frac{2}{2}$ なので $(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} = 2^{(n + 1) /2}$ である。

ここで $2^{33} = 8589934592 < 1 0^{10} < 17179869184 = 2^{34}$ である。 $n < 71$ で、かつ上の和が正になる場合を調べる。 $n \equiv 0 (mod 8)$ なら最大でも $n = 64$ であり、このとき値は $2^{64/2 + 1} = 2^{33}$ である。 $n \equiv 1, 7 (mod 8)$ なら、 $n < 71$ で最大の候補は $n = 65$ であり、このとき値は $2^{(65 + 1) /2} = 2^{33}$ である。したがって $n < 71$ では条件を満たさない。

一方、 $n = 71$ は $71 \equiv 7 (mod 8)$ であり $(1 + i)^{71} + (1 - i)^{71} = 2^{36} > 1 0^{10}$ である。よって求める最小の正の整数は $71$ である。

京都大学 2019年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

京都大学 2019年度
理系数学第6問