京都大学 2019年度
理系数学 第1問

解答

問1

$x=\cos \theta$ とおく。$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ なので $0<x<1$ である。また、問題の条件より $x$ は有理数ではない。

まず $\cos 2\theta =2x^2-1$ が有理数であるから、$x^2$ は有理数である。次に $\cos 3\theta =4x^3-3x=x(4x^2-3)$ も有理数である。ここで $4x^2-3$ は有理数である。

もし $4x^2-3\ne 0$ なら、$x(4x^2-3)$ が有理数で、$4x^2-3$ も0でない有理数なので、$x$ は有理数となる。これは条件に反する。したがって $4x^2-3=0$ である。よって $x^2=\frac{3}{4}$ であり、$0<x<1$ から $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。$\sqrt{3}$ は有理数でないので、$x$ が有理数でないという条件も満たす。したがって $\boxed{\theta =\frac{\pi }{6}}$ である。

問2

(1)部分積分を用いる。$u=x$、$dv=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}$ とすれば $du=dx$、$v=\tan x$ であるから

である。ここで $\int \tan xdx=-\log (\cos x)$ なので ${\int }_0^{\pi /4}\tan xdx=-\log \frac{\sqrt{2}}{2}=\log \sqrt{2}$ である。よって $\boxed{{\int }_0^{\pi /4}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx=\frac{\pi }{4}-\log \sqrt{2}}$ である。

(2)

である。したがって $\int \frac{dx}{\cos x}=\frac{1}{2}\log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}$ である。これを $0$ から $\frac{\pi }{4}$ まで代入すると

である。ここで $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=(1+\sqrt{2}{)}^2$ だから $\boxed{{\int }_0^{\pi /4}\frac{dx}{\cos x}=\log (1+\sqrt{2})}$ である。