京都大学 2019年度
理系数学 第2問

解答

$f(x)=x^3+2x^2+2$ である。

まず $n$ が偶数の場合を考える。$n=2m$ とおくと $f(n)=8m^3+8m^2+2=2(4m^3+4m^2+1)$ であり、$f(n)$ は偶数である。$|f(n)|$ が素数であるためには、偶数の素数が2だけであることから $|f(n)|=2$ でなければならない。

これは $|4m^3+4m^2+1|=1$ と同値である。もし $4m^3+4m^2+1=1$ なら $4m^2(m+1)=0$ より $m=0,-1$ である。一方 $4m^3+4m^2+1=-1$ なら $4m^2(m+1)=-2$ となるが、左辺は4の倍数なので不可能である。したがって、$n$ が偶数のときの候補は $n=0,-2$ である。

次に $n$ が奇数の場合を考える。このとき $n+1$ は偶数である。上と同じ議論を整数 $n+1$ に適用すると、$|f(n+1)|$ が素数であるためには $n+1=0,-2$ でなければならない。したがって $n=-1,-3$ である。

以上より候補は $-3,-2,-1,0$ に限られる。実際に確認すると

であり、いずれも $|f(n)|$、$|f(n+1)|$ はともに素数である。

よって求める整数は $\boxed{-3,-2,-1,0}$ である。