問題
鋭角三角形ABCを考え，その面積をSとする。をみたす実数に対し，線分ACをに内分する点をQ，線分BQをに内分する点をPとする。実数がこの範囲を動くときに点Pの描く曲線と，線分BCによって囲まれる部分の面積を，Sを用いて表せ。
出典：京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
三角形の底辺を として座標を置く。鋭角三角形なので、、、 とおけば 、 である。 は を に内分し、 は を同じ比で内分するので、 の座標を で表す。 が単調増加することを確認し、曲線と に囲まれる面積を として計算する。 を含む項は積分で打ち消え、最終的に だけが残る。
解答
底辺 を 軸上に置き とする。三角形ABCは鋭角なので としてよい。このとき三角形ABCの面積は である。
点 は線分 を に内分するので である。したがって である。
また点 は線分 を に内分する。 なので である。よって とおくと である。
ここで であり、、 だから である。したがって、点 の曲線は から へ向かうグラフとして見られる。求める面積は であり、媒介変数 を用いて
である。 だから、求める面積は である。