京都大学 2015年度理系数学第3問解答・解説

問題

(1) $a$ を実数とするとき， $(a, 0)$ を通り， $y = e^{x} + 1$ に接する直線がただ1つ存在することを示せ．

(2) $a_{1} = 1$ として， $n = 1, 2, \dots$ について， $(a_{n}, 0)$ を通り， $y = e^{x} + 1$ に接する直線の接点の $x$ 座標を $a_{n + 1}$ とする．このとき， $n \to \infty lim (a_{n + 1} - a_{n})$ を求めよ．

出典：京都大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

接点の $x$ 座標を $t$ と置き、接線が $(a, 0)$ を通る条件を $a = t - 1 - e^{- t}$ に直す。この右辺は $t$ について単調増加し、値域が全実数であるため、接線がただ1つ存在する。(2)では定義から $a_{n} = a_{n + 1} - 1 - e^{- a_{n + 1}}$ を得る。差は $1 + e^{- a_{n + 1}}$ なので、 $a_{n}$ が無限大へ発散することを示せば極限は1になる。

解答

(1)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。曲線 $y = e^{x} + 1$ の $x = t$ における接線は、傾きが $e^{t}$ で、接点が $(t, e^{t} + 1)$ であるから $y = e^{t} (x - t) + e^{t} + 1$ である。この接線が $(a, 0)$ を通る条件は $0 = e^{t} (a - t) + e^{t} + 1$ である。両辺を $e^{t}$ で割ると $0 = a - t + 1 + e^{- t}$ すなわち $a = t - 1 - e^{- t}$ である。

ここで $ϕ (t) = t - 1 - e^{- t}$ とおくと $ϕ^{'} (t) = 1 + e^{- t} > 0$ であるから、 $ϕ (t)$ は実数全体で狭義単調増加である。また

t \to - \infty lim ϕ (t) = - \infty, t \to \infty lim ϕ (t) = \infty

である。したがって任意の実数 $a$ に対して $ϕ (t) = a$ を満たす実数 $t$ がただ1つ存在する。ゆえに、 $(a, 0)$ を通り $y = e^{x} + 1$ に接する直線はただ1つ存在する。

(2)

定義より、 $(a_{n}, 0)$ を通る接線の接点の $x$ 座標が $a_{n + 1}$ である。したがって(1)の関係式に $a = a_{n}$ 、 $t = a_{n + 1}$ を代入して $a_{n} = a_{n + 1} - 1 - e^{- a_{n + 1}}$ を得る。よって $a_{n + 1} - a_{n} = 1 + e^{- a_{n + 1}}$ である。特に $a_{n + 1} - a_{n} > 1$ なので、 $a_{1} = 1$ から $a_{n} ≧ n$ が従う。したがって $a_{n} \to \infty$ であり、特に $a_{n + 1} \to \infty$ である。

以上より $e^{- a_{n + 1}} \to 0$ であるから

n \to \infty lim (a_{n + 1} - a_{n}) = n \to \infty lim (1 + e^{- a_{n + 1}}) = 1

である。

京都大学 2015年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2015年度
理系数学第3問