京都大学 2015年度理系数学第1問解答・解説

問題

2つの関数 $y = sin (x + \frac{π}{8})$ と $y = sin 2 x$ のグラフの $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の部分で囲まれる領域を， $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
ただし， $x = 0$ と $x = \frac{π}{2}$ は領域を囲む線とは考えない．

出典：京都大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

端点 $x = 0, π /2$ は囲む線ではないので、2曲線の内部交点だけで囲まれる領域を考える。まず $sin (x + π /8) = sin 2 x$ を解き、内部交点が $π /8$ と $7 π /24$ であることを確認する。その区間では $sin 2 x$ が上、 $sin (x + π /8)$ が下なので、回転体の体積は $π \int (上^{2} - 下^{2}) d x$ で計算する。三角恒等式で積分を最後まで示す。

解答

交点を求める。 $sin (x + \frac{π}{8}) = sin 2 x$ である。 $0 ≦ x ≦ π /2$ では、 $x + \frac{π}{8} = 2 x$ または $x + \frac{π}{8} = π - 2 x$ を考えればよい。前者から $x = \frac{π}{8}$ を得る。後者から $3 x = \frac{7 π}{8}$ なので $x = \frac{7 π}{24}$ である。

問題文で $x = 0$ と $x = π /2$ は領域を囲む線とは考えないとされているので、求める領域はこの2つの内部交点の間で囲まれる部分である。例えば $x = π /6$ を代入すると

sin 2 x = sin \frac{π}{3}, sin (x + \frac{π}{8}) = sin \frac{7 π}{24}

であり、この区間では $sin 2 x$ が上側である。したがって回転体の体積 $V$ は

V = π \int_{π /8}^{7 π /24} {sin^{2} 2 x - sin^{2} (x + \frac{π}{8})} d x

である。

ここで $sin^{2} u - sin^{2} v = sin (u + v) sin (u - v)$ を用いると、被積分関数は $sin (3 x + \frac{π}{8}) sin (x - \frac{π}{8})$ である。さらに積和公式より

sin (3 x + \frac{π}{8}) sin (x - \frac{π}{8}) = \frac{1}{2} {cos (2 x + \frac{π}{4}) - cos 4 x}

である。したがって

\frac{V}{π} = \int_{π /8}^{7 π /24} \frac{1}{2} {cos (2 x + \frac{π}{4}) - cos 4 x} d x = [\frac{1}{4} sin (2 x + \frac{π}{4}) - \frac{1}{8} sin 4 x]_{π /8}^{7 π /24}

である。上端 $x = 7 π /24$ では

sin (2 x + \frac{π}{4}) = sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}, sin 4 x = sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

である。下端 $x = π /8$ では

sin (2 x + \frac{π}{4}) = sin \frac{π}{2} = 1, sin 4 x = sin \frac{π}{2} = 1

である。よって

\frac{V}{π} = (\frac{1}{8} + \frac{1}{16}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}) = \frac{1}{16}

であり $V = \frac{π}{16}$ である。

京都大学 2015年度理系数学 第1問

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