問題
投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する．数直線上に石を置き，この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し，裏が出れば数直線上で座標1の点に関して対称な点に石を移動する．
(1) 石が座標の点にあるとする．2回硬貨を投げたとき，石が座標の点にある確率を求めよ．
(2) 石が原点にあるとする．を自然数とし，回硬貨を投げたとき，石が座標の点にある確率を求めよ．
出典：京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
表による反射を 、裏による反射を と式で表し、2回の合成をすべて調べる。2回を1組にすると移動量は のいずれかになり、座標 は最大到達位置である。したがって に到達するには、全ての組で だけ進む必要がある。
解答
表が出たときの操作を 、裏が出たときの操作を とする。座標 にある石は と移る。
(1)
2回の出方は の4通りで、いずれも確率は である。それぞれの合成を調べると であり、 である。したがって2回後に座標 に戻るのは と の2通りであるから、求める確率は である。
(2)
2回を1組として見ると、各組の移動量は のいずれかであり、それぞれの確率は である。 回硬貨を投げることは、 組の移動を行うことである。1組あたりの最大移動量は なので、原点から座標 に到達するには、 組すべてで移動量が でなければならない。これは各組がすべて となる場合である。
よって求める確率は である。