問題
を2以上の実数とし，とする．このときがすべての実数に対して成り立つようなの範囲を求めよ．
出典：京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
外側の関数を一度 と見て、 となる入力 の範囲を調べる。内側の は上に開く2次関数なので、その値域は最小値から上全体である。したがって、その値域が外側の関数を0以下にする区間 に触れないことが必要十分条件になる。端点では になるため、不等号が厳しい点に注意する。
解答
実数 に対して である。ここで だから、 となるのは のときである。したがって となるのは である。
次に、内側の の値域を求める。 であり、平方完成すると である。よって の値域は である。 がすべての実数 で成り立つためには、 の値が区間 に入ってはならない。ところが の値域は上に無限に伸びる区間であるから、これが と交わらないための条件は である。等号の場合は となる が存在し、そのとき外側の となるので除く必要がある。
上の不等式を解くと である。 より であるから、求める範囲は である。