問題
，を実数とする．平面内で，点を中心とする円と放物線
が点を共有し，さらににおける接線が一致している．このとき以下の問に答えよ．
(1) ，の値を求めよ．
(2) 円，放物線および軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
円は中心 と接点 から半径と接線の傾きが決まる。放物線については、 を通る条件と における傾きの一致を使って を求める。面積は で、円の下側の枝が放物線より上にあることを確認し、差を積分する。円弧の積分では半径 の扇形部分を含むため、 を使う。
解答
(1)
円 の中心は であり、点 を通る。したがって半径の2乗は であり、円の方程式は である。
点 における半径の傾きは であるから、接線の傾きは である。
一方、放物線 の傾きは である。接線の傾きが で一致するので であり、 を得る。また が放物線上にあるから である。よって である。
(2)
円の下側の枝は であり、放物線は である。求める領域は 軸、円弧、放物線に囲まれ、 で円の下側の枝が放物線より上にある。したがって面積 は
である。
多項式部分は
である。また
である。よって
である。