問題
とを自然数とし，整式を整式で割った余りをとする．
(1) とは整数であることを示せ．
(2) とをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．
出典：京都大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
割る式 は で0になるので、余り はこの2点で と同じ値をとる。2つの代入式を引けば が整数であることが直接出て、さらに から も整数になる。共通素因数については、もし素数 が をともに割れば、2つの代入式から と の両方を割ることになり、連続整数の性質に反する。
解答
余りを とおく。 は で割り切れるので、 と を代入すると を得る。
(1)
2式を引くと である。 は自然数なので右辺は整数であり、 は整数である。また であるから、 が整数であることより も整数である。
(2)
素数 が と をともに割り切ると仮定する。このとき の左辺は の倍数だから、 は を割り切る。 は素数なので、 は を割り切る。
同様に の左辺も の倍数だから、 は を割り切り、したがって を割り切る。
しかし、1つの素数が連続する2つの整数 と をともに割り切ることはできない。これは矛盾である。よって と をともに割り切る素数は存在しない。