問題
さいころを回投げて出た目を順にとする．さらに
によってを定める．
となる確率を求めよ．
出典：京都大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
目標区間の下端を 、上端を と置く。 は常に正なので、 の場合に分け、 となる条件を への条件に直す。目的確率そのものだけでは閉じないため、、 を導入する。 と の漸化式を立て、和 で1本の漸化式にして解き、最後に に戻す。
解答
とおく。すべての で であることに注意する。 とし、直前の値 を と書く。
まず のとき である。 となる条件を調べる。上限条件は であり、これは すなわち である。これは から常に成り立つ。下限条件は である。これは と同値なので である。したがって のときは、 でちょうど目的区間に入る。
次に のとき である。下限 は常に満たされる。上限条件 は すなわち と同値である。したがって のときは、 でちょうど目的区間に入る。 のときは なので、目的区間には入らない。
そこで とおく。上の考察から、 では である。
次に の漸化式を作る。 となるには、 なら常に可能で、 なら が必要十分である。 では不可能である。よって である。
また となるには、 なら常に可能で、 なら が必要十分である。したがって である。 とおくと を得る。初期値は より であり、 だから である。
漸化式 の定常値は より である。したがって であり、 だから である。 では
である。
最後に を確認する。このとき であり、 を満たすさいころの目は だけである。よって である。一方、上の式に を代入すると となるので、同じ式が成り立つ。
したがって、すべての正の整数 について である。