京都大学 2012年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の各問に答えよ．

(1) $a$ が正の実数のとき $n \to \infty lim (1 + a^{n})^{\frac{1}{n}}$ を求めよ．

(2) 定積分 $\int_{1}^{3} \frac{1}{x ^{2}} lo g 1 + x^{2} d x$ の値を求めよ．

出典：京都大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)は $a ≦ 1$ と $a > 1$ に分ける。 $0 < a ≦ 1$ では $1 + a^{n}$ が1と2の間に挟まれるので、その $1/ n$ 乗をはさみうちする。 $a > 1$ では $a^{n}$ をくくり出し、残った因子が1へ近づくことを示す。(2)は $u = lo g 1 + x^{2}$ 、 $d v = x^{- 2} d x$ とする部分積分で、対数を微分して $1/ (1 + x^{2})$ に落とす。端点での対数値と $arctan$ の値を丁寧に代入する。

解答

(1)

まず $0 < a ≦ 1$ とする。このとき $0 < a^{n} ≦ 1$ であるから $1 ≦ 1 + a^{n} ≦ 2$ である。正の数なので $1/ n$ 乗して $1 ≦ (1 + a^{n})^{1/ n} ≦ 2^{1/ n}$ を得る。ここで $2^{1/ n} \to 1$ だから、はさみうちにより $lim_{n \to \infty} (1 + a^{n})^{1/ n} = 1$ である。

次に $a > 1$ とする。このとき $(1 + a^{n})^{1/ n} = a (1 + \frac{1}{a ^{n}})^{1/ n}$ である。 $a^{n} \to \infty$ なので

1 ≦ (1 + \frac{1}{a ^{n}})^{1/ n} ≦ (1 + 1)^{1/ n} = 2^{1/ n}

が十分大きい $n$ で成り立つ。右端は1に収束するので、中央も1に収束する。したがって $lim_{n \to \infty} (1 + a^{n})^{1/ n} = a$ である。

以上より

n \to \infty lim (1 + a^{n})^{1/ n} = {1 a (0 < a ≦ 1), (a > 1)

である。

(2)

求める積分を $I = \int_{1}^{3} \frac{1}{x ^{2}} lo g 1 + x^{2} d x$ とおく。部分積分を用いる。すなわち $u = lo g 1 + x^{2}, d v = \frac{1}{x ^{2}} d x$ とする。すると $d u = \frac{x}{1 + x ^{2}} d x, v = - \frac{1}{x}$ である。よって

I = [- \frac{1}{x} lo g 1 + x^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{1 + x ^{2}} d x

であり、

I = [- \frac{1}{x} lo g 1 + x^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \frac{d x}{1 + x ^{2}}

となる。

端点の値を計算する。 $x = 3$ では $lo g 1 + x^{2} = lo g 2$ であり、 $x = 1$ では $lo g 1 + x^{2} = lo g 2 = \frac{1}{2} lo g 2$ である。したがって境界項は $- \frac{1}{3} lo g 2 + \frac{1}{2} lo g 2$ である。また

\int_{1}^{3} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = [arctan x]_{1}^{3} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4} = \frac{π}{12}

である。

よって $I = \frac{1}{2} lo g 2 - \frac{1}{3} lo g 2 + \frac{π}{12}$ であり、 $1/ 3 = 3 /3$ だから $I = (\frac{1}{2} - \frac{3}{3}) lo g 2 + \frac{π}{12}$ である。

京都大学 2012年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2012年度
理系数学第1問