京都大学 2012年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$\sqrt[3]{2}$ が有理数であると仮定する。すると、互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\sqrt[3]{2}=\frac{p}{q}$ と書ける。両辺を3乗すると $2=\frac{p^3}{q^3}$ であるから $p^3=2q^3$ である。よって $p^3$ は2で割り切れるので、$p$ も2で割り切れる。$p=2r$ とおくと $8r^3=2q^3$ より $q^3=4r^3$ である。したがって $q^3$ も2で割り切れ、$q$ も2で割り切れる。

これは $p,q$ が互いに素であることに反する。よって $\boxed{\sqrt[3]{2}\text{ は無理数である}}$ である。

(2)

$\alpha =\sqrt[3]{2}$ とおく。$P(x)$ を $x^3-2$ で割った商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると $P(x)=(x^3-2)Q(x)+R(x)$ である。余りは高々2次なので、有理数 $a,b,c$ を用いて $R(x)=a{x}^2+bx+c$ と書ける。 $P(\alpha )=0$ であり、${\alpha }^3-2=0$ であるから $R(\alpha )=0$ である。すなわち $a{\alpha }^2+b\alpha +c=0$ である。

まず $a=0$ の場合を考える。このとき $b\alpha +c=0$ である。もし $b\ne 0$ なら $\alpha =-\frac{c}{b}$ となり $\alpha$ が有理数になるので、(1)に反する。したがって $b=0$ でなければならず、さらに $c=0$ である。

次に $a\ne 0$ と仮定する。式 $a{\alpha }^2+b\alpha +c=0$ に $\alpha$ を掛けると、${\alpha }^3=2$ より $b{\alpha }^2+c\alpha +2a=0$ を得る。元の式とこの式から ${\alpha }^2$ を消去する。具体的には、元の式に $b$ を掛け、後の式に $a$ を掛けて引くと $(b^2-ac)\alpha +(bc-2a^2)=0$ である。

もし $b^2-ac\ne 0$ なら $\alpha =-\frac{bc-2a^2}{b^2-ac}$ となり $\alpha$ が有理数になる。これは(1)に反する。よって $b^2-ac=0,bc-2a^2=0$ でなければならない。

この2式から $ac=b^2,bc=2a^2$ である。第1式に $b$ を掛けると $abc=b^3$ であり、第2式に $a$ を掛けると $abc=2a^3$ である。したがって $b^3=2a^3$ となる。$a\ne 0$ だから ${\left(\frac{b}{a}\right)}^3=2$ である。ところが $b/a$ は有理数なので、これは $\sqrt[3]{2}$ が有理数であることを意味し、(1)に反する。

したがって $a\ne 0$ はありえない。結局 $a=b=c=0$ であり、余り $R(x)$ は0である。よって $\boxed{P(x)\text{ は }{x}^3-2\text{ で割り切れる}}$ である。