京都大学 2010年度
文系数学 第5問

解答

(1) 対角線 $OF$ の方向ベクトルは $\vec{u}=(1,1,1)$ である。点 $A=(1,0,0)$ から直線 $OF$ に下ろした垂線の長さを求める。 $A$ の $\vec{u}$ 方向への射影の長さの2乗は $\frac{(A\cdot \vec{u}{)}^2}{|\vec{u}{|}^2}=\frac{1^2}{3}=\frac{1}{3}$ である。また $|A{|}^2=1$ だから，点 $A$ から直線 $OF$ までの距離の2乗は $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ である。よって求める長さは $\boxed{\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}}$ である。

(2) 立方体内の点を $(x,y,z)$ とし，$s=x+y+z$ とおく。対角線 $OF$ は $(0,0,0)$ から $(1,1,1)$ へ向かう直線であり，$s$ は軸方向の位置を表す量である。$0\leqq x,y,z\leqq 1$ より $0\leqq s\leqq 3$ である。

平面 $x+y+z=s$ は $OF$ に垂直である。$OF$ 方向の単位ベクトルは $(1,1,1)/\sqrt{3}$ なので，$s$ が $ds$ だけ変化するときの軸方向の厚さは $\frac{ds}{\sqrt{3}}$ である。

点 $(x,y,z)$ から軸 $OF$ までの距離の2乗は，原点からの距離の2乗から軸方向成分の2乗を引いて ${\rho }^2=x^2+y^2+z^2-\frac{(x+y+z{)}^2}{3}=x^2+y^2+z^2-\frac{s^2}{3}$ である。断面は軸上の点 $(s/3,s/3,s/3)$ を含む凸図形なので，その断面を回転すると，半径が断面内での最大距離である円板になる。

各 $s$ について最大となる点を調べる。 $0\leqq s\leqq 1$ のとき，断面は3点 $(s,0,0),(0,s,0),(0,0,s)$ を頂点とする三角形である。これらの頂点で ${\rho }^2=s^2-\frac{s^2}{3}=\frac{2}{3}{s}^2$ となり，これが最大である。 $1\leqq s\leqq 2$ のとき，断面は例えば $(1,s-1,0),(s-1,1,0),(1,0,s-1)$ などを頂点とする六角形である。いずれの頂点でも $x^2+y^2+z^2=1+(s-1{)}^2$ なので ${\rho }^2=1+(s-1{)}^2-\frac{s^2}{3}=2-2s+\frac{2}{3}{s}^2$ となる。 $2\leqq s\leqq 3$ のとき，断面は3点 $(1,1,s-2),(1,s-2,1),(s-2,1,1)$ を頂点とする三角形である。頂点で $x^2+y^2+z^2=2+(s-2{)}^2$ だから ${\rho }^2=2+(s-2{)}^2-\frac{s^2}{3}=\frac{2}{3}(3-s{)}^2$ である。

したがって回転体の体積 $V$ は

である。それぞれ

であるから

である。