問題
点を中心とする正十角形において，，を隣接する2つの頂点とする．線分上にを満たす点をとるとき，が成立することを示せ．
出典：京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
示したい等式を半径 で割り， と が同じ正の数であることを示す。 側は条件 からすぐ2次方程式になる。 側は正十角形の中心角が であることから と表し，三倍角の公式を使って同じ2次方程式を満たすことを示す。
解答
とおき， とする。正十角形の隣り合う2頂点 に対して，中心角は である。したがって弦の長さより なので である。
ここで とおく。 であり， である。三倍角の公式と二倍角の公式を使うと となる。これを整理すると である。左辺は と因数分解できる。 だから である。 より を得る。
次に とおく。点 は線分 上にあるから である。条件 を代入すると であり， だから すなわち である。 も も正であり，同じ2次方程式 を満たす。この方程式の正の解は1つだけであるから である。
したがって であり， より が成り立つ。