京都大学 2010年度文系数学第1問解答・解説

問題

次の各問に答えよ．

(1) 座標平面上で，点 $(1, 2)$ を通り傾き $a$ の直線と放物線 $y = x^{2}$ によって囲まれる部分の面積を $S (a)$ とする． $a$ が $0 ≦ a ≦ 6$ の範囲を変化するとき， $S (a)$ を最小にするような $a$ の値を求めよ．

(2) $△ A B C$ において $A B = 2$ ， $A C = 1$ とする． $∠ B A C$ の二等分線と辺 $B C$ の交点を $D$ とする． $A D = B D$ となるとき， $△ A B C$ の面積を求めよ．

出典：京都大学 2010年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

(1) は，直線と放物線の2交点の $x$ 座標を $α, β$ とし，囲まれる面積を $\int_{α}^{β} (直線 - 放物線) d x$ で表す。差は $(x - α) (β - x)$ 型になるので，面積は交点間の長さ $β - α$ ，すなわち判別式だけで決まる。(2) は角の二等分線の定理で $B D$ を $B C$ で表し，角の二等分線の長さ公式と条件 $A D = B D$ から $B C$ を決める。最後に余弦定理で $∠ B A C$ を求め，面積へ進む。

解答

(1) 点 $(1, 2)$ を通り傾き $a$ の直線は $y = a (x - 1) + 2 = a x - a + 2$ である。放物線 $y = x^{2}$ との交点の $x$ 座標は $x^{2} = a x - a + 2$ すなわち $x^{2} - a x + a - 2 = 0$ の解である。この2解を $α, β$ $α < β$ とする。

判別式を $D$ とすると $D = a^{2} - 4 (a - 2) = a^{2} - 4 a + 8 = (a - 2)^{2} + 4$ である。したがって $β - α = D$ である。 $α ≦ x ≦ β$ では直線が放物線の上にあるので，囲まれる面積は $S (a) = \int_{α}^{β} {a (x - 1) + 2 - x^{2}} d x$ である。ここで $a (x - 1) + 2 - x^{2} = - (x^{2} - a x + a - 2) = - (x - α) (x - β) = (x - α) (β - x)$ だから $S (a) = \int_{α}^{β} (x - α) (β - x) d x$ となる。 $u = x - α$ とおくと，積分区間は $0 ≦ u ≦ β - α$ であり，

S (a) = \int_{0}^{β - α} u (β - α - u) d u = \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{D ^{3/2}}{6}

である。

よって $S (a)$ を最小にするには $D$ を最小にすればよい。 $0 ≦ a ≦ 6$ において $D = (a - 2)^{2} + 4$ は $a = 2$ で最小となる。したがって求める値は $a = 2$ である。

(2) $B C = x$ とおく。角の二等分線の定理より $B D : D C = A B : A C = 2 : 1$ であるから $B D = \frac{2}{3} x$ である。条件 $A D = B D$ より $A D = \frac{2}{3} x$ である。

角の二等分線の長さの公式を用いると， $A B = 2$ ， $A C = 1$ なので

A D^{2} = A B \cdot A C {1 - \frac{B C ^{2}}{( A B + A C ) ^{2}}} = 2 (1 - \frac{x ^{2}}{9})

である。一方， $A D = 2 x /3$ だから $A D^{2} = \frac{4 x ^{2}}{9}$ である。よって $\frac{4 x ^{2}}{9} = 2 (1 - \frac{x ^{2}}{9})$ となり，整理して $4 x^{2} = 18 - 2 x^{2}, 6 x^{2} = 18$ より $x^{2} = 3$ を得る。

次に余弦定理より

cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{4 + 1 - 3}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1}{2}

である。したがって $0 < A < π$ より $sin A = \frac{3}{2}$ である。

ゆえに $△ A B C$ の面積は

\frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}

である。

京都大学 2010年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

京都大学 2010年度
文系数学第1問