京都大学 2009年度理系数学第6問解答・解説

問題

極方程式 $r = 1 + cos θ$ $(0 ≦ θ ≦ π)$ で表される曲線の長さを求めよ．

出典：京都大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

極方程式の曲線を $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ と媒介変数表示し，曲線の長さを $\int (d x / d θ)^{2} + (d y / d θ)^{2} d θ$ で求める。一般に被積分関数は $r^{2} + (d r / d θ)^{2}$ になるので， $r = 1 + cos θ$ ， $d r / d θ = - sin θ$ を代入する。半角公式で $2 + 2 cos θ = 4 cos^{2} (θ /2)$ とし， $0 ≦ θ ≦ π$ では $cos (θ /2) ≧ 0$ であることを確認して積分する。

解答

極方程式 $r = 1 + cos θ$ で表される点は $x = r cos θ, y = r sin θ$ と表せる。したがって曲線の長さは

\int_{0}^{π} (\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2} d θ

である。

ここで

\frac{d x}{d θ} = \frac{d r}{d θ} cos θ - r sin θ, \frac{d y}{d θ} = \frac{d r}{d θ} sin θ + r cos θ

なので，二乗して足すと交差項が消え，

(\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2} = (\frac{d r}{d θ})^{2} + r^{2}

である。

いま $r = 1 + cos θ, \frac{d r}{d θ} = - sin θ$ であるから，被積分関数は $(1 + cos θ)^{2} + sin^{2} θ$ である。これを整理すると

(1 + cos θ)^{2} + sin^{2} θ = 1 + 2 cos θ + cos^{2} θ + sin^{2} θ = 2 + 2 cos θ = 4 cos^{2} \frac{θ}{2}

である。 $0 ≦ θ ≦ π$ では $0 ≦ θ /2 ≦ π /2$ なので $cos \frac{θ}{2} ≧ 0$ である。したがって $(1 + cos θ)^{2} + sin^{2} θ = 2 cos \frac{θ}{2}$ である。

よって曲線の長さは

\int_{0}^{π} 2 cos \frac{θ}{2} d θ = [4 sin \frac{θ}{2}]_{0}^{π} = 4

である。

京都大学 2009年度理系数学 第6問

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理系数学第6問