問題
次の各問にそれぞれ答えよ．
問1 正の数に対して空間で，，，，，，，を頂点とする直方体を考える．を通り，3つの頂点，，を含む平面に垂直な直線が辺(両端を含む)と点で交わるとき，の値との座標を求めよ．
問2 白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える．取り出した2球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し，そうでないときは「失敗」とし，取り出した2球に赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする．最初に白球が2個，赤球が1個袋に入っていたとき，回まで失敗し回目に成功する確率を求めよ．ただしとする．
方針
問1は平面の法線ベクトルを作り，を通る垂線をパラメータ表示する。辺上の点はを満たすので，の2条件からとパラメータを決め，最後に座標が辺上に入ることを確認する。問2は文系第1問と同じで，失敗のたびに赤球だけが1個増えるため，回目直前の赤球数をとして失敗確率の積を望遠的に約分する。
解答
問1
平面上の2つのベクトルは である。この平面に垂直なベクトルは を満たせばよい。例えば と取れる。実際， かつ である。
したがって，を通り平面に垂直な直線は，実数を用いて と表せる。すなわち である。
辺はとを結ぶ線分なので，その上の点は を満たす。よって交点では である。第2式より であり，これを第1式に代入すると となる。より である。このとき であり， である。これはを満たす。したがって である。
問2
失敗した場合，取り出した2球を袋に戻し，さらに赤球を1個加える。したがって白球の個数は常に2個であり，失敗するたびに赤球だけが1個増える。 回目の直前には，白球2個，赤球個，合計個が袋に入っている。よって回目の成功確率は
である。したがって失敗確率は である。
求める確率は である。積を約分すると
なので である。