京都大学 2009年度
理系数学 第4問

解答

とする。初期値は

であるから

である。条件$x_2^2+y_2^2=1$より $a^2+c^2=1$ である。

次に

である。ここで$ad-bc=1$より $bc=ad-1$ なので $x_3=a^2+bc=a^2+ad-1=a(a+d)-1$ であり，$y_3=ac+cd=c(a+d)$ である。$x_3^2+y_3^2=1$を用いると $\{a(a+d)-1{\}}^2+c^2(a+d{)}^2=1$ である。左辺を整理すると，$a^2+c^2=1$より $(a+d{)}^2-2a(a+d)+1=1$ となる。したがって $(a+d{)}^2-2a(a+d)=0$ すなわち $(a+d)(d-a)=0$ である。よって $d=a\text{または}d=-a$ である。

まず$d=a$の場合を考える。$ad-bc=1$より $a^2-bc=1$ である。一方$a^2+c^2=1$なので $bc=-c^2$ である。もし$c\ne 0$なら$b=-c$であり，

となる。このとき任意のベクトル$(u,v{)}^T$について $(au-cv{)}^2+(cu+av{)}^2=(a^2+c^2)(u^2+v^2)=u^2+v^2$ であるから，$A$を掛けても長さは変わらない。したがってすべての$n$で $x_n^2+y_n^2=1$ である。 $d=a$かつ$c=0$の場合は，$a^2+c^2=1$より$a=\pm 1$である。このとき

であり，以後も第2成分は0のまま，第1成分は$\pm 1$に留まる。よってこの場合も長さは常に1である。

次に$d=-a$の場合を考える。$ad-bc=1$より $-a^2-bc=1,bc=-(a^2+1)$ である。直接計算すると

である。したがって

である。2つ進むごとに符号が変わるだけなので，長さは保たれる。

以上のすべての場合で $\boxed{x_n^2+y_n^2=1(n=1,2,3,\dots )}$ が成り立つ。