京都大学 2009年度理系数学第2問解答・解説

問題

平面上に三角形 $△ O A_{1} A_{2}$ と点 $A_{3}$ ， $A_{4}$ ， $A_{5}$ を， $n = 1, 2, 3$ に対して $△ O A_{n} A_{n + 1}$ と $△ O A_{n + 1} A_{n + 2}$ が辺 $O A_{n + 1}$ に関して対称になるようにとる． $△ O A_{2} A_{5}$ の面積が $△ O A_{1} A_{2}$ の面積の正の整数倍となるとき， $∠ A_{1} O A_{2}$ の値を求めよ．

出典：京都大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

折り返しによって， $O$ から各点への長さは交互に保たれ，角は $θ = ∠ A_{1} O A_{2}$ ずつ進む。したがって $O A_{5} = O A_{1}$ ，かつ $O A_{2}$ と $O A_{5}$ のなす角は $3 θ$ として面積比を表せる。面積比は $∣ sin 3 θ ∣/ sin θ = ∣4 cos^{2} θ - 1∣$ となる。 $0 < θ < π$ よりこの値は3未満なので，正の整数倍は1または2に限られる。それぞれの三角方程式を解き，範囲内の角を列挙する。

解答

$θ = ∠ A_{1} O A_{2}$ とおく。三角形なので $0 < θ < π$ である。 $△ O A_{1} A_{2}$ と $△ O A_{2} A_{3}$ が辺 $O A_{2}$ に関して対称であるから， $A_{1}$ を辺 $O A_{2}$ について折り返した点が $A_{3}$ である。したがって $O A_{3} = O A_{1}, ∠ A_{2} O A_{3} = θ$ である。同様に次の折り返しで $O A_{4} = O A_{2}, ∠ A_{3} O A_{4} = θ$ となり，さらに $O A_{5} = O A_{3} = O A_{1}, ∠ A_{4} O A_{5} = θ$ となる。よって， $O A_{2}$ と $O A_{5}$ のなす角は $3 θ$ であり，面積では向きによらず $∣ sin 3 θ ∣$ が現れる。

したがって $[△ O A_{1} A_{2}] = \frac{1}{2} O A_{1} \cdot O A_{2} sin θ$ であり， $[△ O A_{2} A_{5}] = \frac{1}{2} O A_{2} \cdot O A_{5} ∣ sin 3 θ ∣$ である。 $O A_{5} = O A_{1}$ より，面積比は

\frac{[ △ O A _{2} A _{5} ]}{[ △ O A _{1} A _{2} ]} = \frac{∣ sin 3 θ ∣}{sin θ}

である。

三倍角の公式を用いると $\frac{∣ s i n 3 θ ∣}{s i n θ} = ∣3 - 4 sin^{2} θ ∣ = ∣4 cos^{2} θ - 1∣$ である。ここで $0 ≦ cos^{2} θ ≦ 1$ なので， $∣4 cos^{2} θ - 1∣$ は0以上3以下である。ただし値が3になるのは $cos^{2} θ = 1$ ，すなわち $θ = 0, π$ の場合であり，三角形が退化するので除かれる。したがって正の整数倍となるには，値は1または2である。

まず $∣4 cos^{2} θ - 1∣ = 2$ のとき，可能なのは $4 cos^{2} θ - 1 = 2$ であり， $cos^{2} θ = \frac{3}{4}$ である。よって $θ = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ である。

次に $∣4 cos^{2} θ - 1∣ = 1$ のとき， $4 cos^{2} θ - 1 = 1$ または $4 cos^{2} θ - 1 = - 1$ である。したがって $cos^{2} θ = \frac{1}{2}$ または $cos^{2} θ = 0$ であり， $θ = \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}$ である。

以上より求める値は

\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{6}

である。

京都大学 2009年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

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理系数学第2問