京都大学 2007年度理系乙数学理系乙第6問解答・解説

問題

全ての実数で定義され何回でも微分できる関数 $f (x)$ が $f (0) = 0, f^{'} (0) = 1$ を満たし、さらに任意の実数 $a, b$ に対して $1 + f (a) f (b) \neq = 0$ であって

f (a + b) = \frac{f ( a ) + f ( b )}{1 + f ( a ) f ( b )}

を満たしている。

(1) 任意の実数 $a$ に対して $- 1 < f (a) < 1$ であることを証明せよ。

(2) $y = f (x)$ のグラフは $x > 0$ で上に凸であることを証明せよ。

出典：京都大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系乙理系乙第6問

方針

(1)は $a = b = x$ として倍角型の式 $f (2 x) = 2 f (x) / (1 + f (x)^{2})$ を得る。右辺の絶対値は1以下であり、等号が起きると引数を半分にする操作を無限に繰り返して $f (0) = 0$ に矛盾する。(2)は加法公式を一方の変数で微分して $f^{'} = 1 - f^{2}$ を導く。

解答

(1)

加法公式で $a = b = x$ とすると

f (2 x) = \frac{2 f ( x )}{1 + f ( x ) ^{2}}

である。任意の実数 $u$ に対して

1 - (\frac{2 u}{1 + u ^{2}})^{2} = \frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}} ≧ 0

だから

\frac{2 u}{1 + u ^{2}} ≦ 1

である。任意の実数 $a$ に対し $x = a /2$ とすれば、これより $∣ f (a) ∣ ≦ 1$ を得る。

等号が成り立つと仮定する。例えば $f (a) = 1$ なら、上の不等式の等号条件から $f (a /2) = 1$ である。同様に繰り返すと

f (\frac{a}{2 ^{n}}) = 1

が全ての自然数 $n$ で成り立つ。しかし $a / 2^{n} \to 0$ であり $f$ は連続だから、左辺は $f (0) = 0$ に収束し、矛盾する。 $f (a) = - 1$ の場合も同様である。よって

- 1 < f (a) < 1

である。

(2)

加法公式を $b$ について微分し、その後 $b = 0$ とする。 $f (0) = 0, f^{'} (0) = 1$ を用いると

f^{'} (a) = 1 - f (a)^{2}

を得る。(1)より

f^{'} (a) > 0

であるから $f$ は単調に増加する。特に $x > 0$ では $f (x) > f (0) = 0$ である。

さらに $f^{'} (x) = 1 - f (x)^{2}$ を微分すると

f^{''} (x) = - 2 f (x) f^{'} (x) .

$x > 0$ では $f (x) > 0$ かつ $f^{'} (x) > 0$ なので

f^{''} (x) < 0.

したがって $y = f (x)$ のグラフは $x > 0$ で上に凸である。

京都大学 2007年度理系乙数学 理系乙 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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