京都大学 2007年度理系乙数学理系乙第1問解答・解説

問題

以下の各問に答えよ。

(1) 定積分 $\int_{0}^{2} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 4} d x$ を求めよ。

(2) 1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。

出典：京都大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系乙理系乙第1問

(1)は分子を $2 x$ と1に分け、前者は $x^{2} + 4$ の置換、後者は標準的な対数形の原始関数を使う。(2)は2段の歩数を $k$ と固定する。1段歩行の間または両端にある空所へ2段歩行を高々1つずつ置くことで、連続しない条件を処理する。

積分を2つに分けると

\int_{0}^{2} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 4} d x = \int_{0}^{2} \frac{2 x}{x ^{2} + 4} d x + \int_{0}^{2} \frac{d x}{x ^{2} + 4} .

それぞれの原始関数は

2 x^{2} + 4, lo g (x + x^{2} + 4)

である。したがって

\int_{0}^{2} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 4} d x = 2 (22 - 2) + lo g \frac{2 + 2 2}{2} = 42 - 4 + lo g (1 + 2) .

2段昇る歩数を $k$ とする。このとき1段昇る歩数は $15 - 2 k$ である。 $15 - 2 k$ 個の1段歩行を先に並べると、その間と両端には全部で $16 - 2 k$ 個の空所がある。2段歩行が連続しないためには、このうち異なる $k$ 個の空所に2段歩行を1つずつ置けばよい。

この配置が可能なのは $0 ≦ k ≦ 5$ のときであり、固定した $k$ に対する個数は $_{16 - 2 k} C_{k}$ である。したがって求める総数は

_{16} C_{0} +_{14} C_{1} +_{12} C_{2} +_{10} C_{3} +_{8} C_{4} +_{6} C_{5} = 1 + 14 + 66 + 120 + 70 + 6 = 277

通りである。