京都大学 2007年度
理系乙数学 理系乙 第5問

解答

仮定より

である。また ${\vec{x}}_1=A{\vec{x}}_0$ だから

である。したがって $A^m$ は ${\vec{x}}_0,{\vec{x}}_1$ をともに固定する。

ここで ${\vec{x}}_0,{\vec{x}}_1$ が1次独立であることを示す。もし1次従属なら、${\vec{x}}_0\ne \vec{0}$ なので、ある実数 $c$ を用いて

と書ける。このとき帰納的に ${\vec{x}}_n=c^n{\vec{x}}_0$ である。$c^m=1$ であり $c$ は実数だから、$c=1$、または $m$ が偶数で $c=-1$ である。

$c=1$ なら ${\vec{x}}_1={\vec{x}}_0$ となり、初めて一致する時刻は1である。$c=-1$ なら ${\vec{x}}_2={\vec{x}}_0$ となり、初めて一致する時刻は2である。どちらも $m\geqq 3$ に反する。よって ${\vec{x}}_0,{\vec{x}}_1$ は1次独立である。

任意の2次列ベクトル $\vec{y}$ は、実数 $\alpha ,\beta$ を用いて

と一意に表せる。したがって

全ての列ベクトルを変えない2次正方行列は単位行列だから、$A^m$ は単位行列である。