京都大学 2007年度理系乙数学理系乙第4問解答・解説

問題

点 $O$ を中心とする円に内接する三角形 $A B C$ の3辺 $A B, B C, C A$ をそれぞれ $2 : 3$ に内分する点を $P, Q, R$ とする。三角形 $P QR$ の外心が点 $O$ と一致するとき、三角形 $A B C$ はどのような三角形か。

出典：京都大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系乙理系乙第4問

円の半径を $r$ 、位置ベクトルを $a, b, c$ とする。内分点の位置ベクトルを表し、 $O$ が $P QR$ の外心である条件を $∣ O P ∣ = ∣ O Q ∣ = ∣ O R ∣$ と書く。二乗して比較すると、3組の内積が等しくなり、元の3辺の長さが全て等しいと分かる。

O A = a, O B = b, O C = c

とおく。 $A, B, C$ は中心 $O$ 、半径 $r$ の円上にあるので

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = r

である。

$P$ は $A B$ を $2 : 3$ に内分するから

O P = \frac{3 a + 2 b}{5} .

同様に

O Q = \frac{3 b + 2 c}{5}, O R = \frac{3 c + 2 a}{5}

である。したがって

25∣ O P ∣^{2} = 13 r^{2} + 12 a \cdot b,

また同様に

25∣ O Q ∣^{2} = 13 r^{2} + 12 b \cdot c, 25∣ O R ∣^{2} = 13 r^{2} + 12 c \cdot a

である。

$O$ が三角形 $P QR$ の外心であることから3つの距離は等しい。よって

a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a

となる。一方

A B^{2} = ∣ a - b ∣^{2} = 2 r^{2} - 2 a \cdot b

であり、 $B C^{2}, C A^{2}$ も同様に表せるから

A B = B C = C A

を得る。したがって三角形 $A B C$ は正三角形である。

逆に $A B C$ が正三角形なら3組の内積が等しく、上の式から $O P = O Q = O R$ となるので、実際に $O$ は $P QR$ の外心である。