京都大学 2007年度
文系数学 第5問

解答

まず命題 $\mathbf{p}$ を調べる。$\sqrt{n}$ が有理数で，$n$ が整数であるとき，$n$ は平方数である。したがって，$\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ がともに有理数なら，ある整数 $r,s$ を用いて $n=r^2,n+1=s^2$ と表せる。ただし $n+1>n$ なので $s>r\geqq 1$ である。このとき $s^2-r^2=1$ すなわち $(s-r)(s+r)=1$ である。しかし $s>r\geqq 1$ なら $s-r\geqq 1,s+r\geqq 3$ であり，積が1になることはない。よってそのような $n$ は存在しない。したがって命題 $\mathbf{p}$ は正しくない。

次に命題 $\mathbf{q}$ を調べる。ある $n\geqq 1$ について $r=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ が有理数であると仮定する。この $r$ は正であるから，$\frac{1}{r}$ も有理数である。ところが $\frac{1}{r}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ である。したがって $\sqrt{n+1}-\sqrt{n},\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ がともに有理数である。

この2式を足し引きすると

および

も有理数になる。これは，命題 $\mathbf{p}$ の検討で示した「$n\geqq 1$ では $\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ がともに有理数になることはない」という事実に反する。

よってすべての $n\geqq 1$ について $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ は無理数である。したがって命題 $\mathbf{q}$ は正しい。

別解。命題 $\mathbf{q}$ は，命題 $\mathbf{p}$ を経由せずに直接示すこともできる。$r=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ が有理数であると仮定して両辺を2乗すると $r^2=2n+1-2\sqrt{n(n+1)}$ である。左辺と $2n+1$ は有理数だから，$\sqrt{n(n+1)}$ も有理数である。すると整数 $n(n+1)$ は平方数である。

しかし $n$ と $n+1$ は互いに素である。互いに素な2整数の積が平方数なら，それぞれが平方数でなければならない。したがって $n$ と $n+1$ がともに平方数になるが，これは上で示した通り $n\geqq 1$ では不可能である。ゆえに $r$ は無理数である。