問題
座標空間で点を通りベクトルに平行な直線を，点を通りベクトルに平行な直線をとする．点は直線上を，点は直線上をそれぞれ勝手に動くとき，線分の長さの最小値を求めよ．
出典：京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
2直線上の点をそれぞれ媒介変数で表し， の長さの2乗を の2変数2次式にする。長さそのものではなく2乗を最小にしてよい。最小点では 方向， 方向に少し動かしても2乗距離が減らないので，偏微分に相当する一次条件を解く。得られた を代入して最短距離を出す。別解として，最短の は2直線の方向ベクトルの両方に垂直になることを用いても同じ連立一次方程式に帰着する。
解答
直線 上の点を とおき，直線 上の点を とおく。ただし は実数である。このとき であるから，距離の2乗は である。 を最小にする点では， だけを動かしたときも， だけを動かしたときも一次の変化が0になる。したがって
である。整理すると となる。これを解いて を得る。
このとき であるから，最小値の2乗は
である。よって線分 の長さの最小値は である。
別解。最短となる線分 は，直線 の方向 に沿って を少し動かしても長さが短くならず，直線 の方向 に沿って を少し動かしても長さが短くならない。したがって最短時の は
を満たす。
上と同じく とおくと および である。これは と同じで，解は である。以後は同じ計算により，最小距離は である。