京都大学 2007年度文系数学第2問解答・解説

問題

3次関数 $y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ のグラフ上の点 $(1, 0)$ における接線を $l$ とする．この3次関数のグラフと接線 $l$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転して立体を作る．その立体の体積を求めよ．

出典：京都大学 2007年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

接線を微分で求めたあと，曲線と接線の差を因数分解して，接点以外の交点と上下関係を確定する。回転軸は $x$ 軸であり， $0 ≦ x ≦ 1$ では両方の $y$ 座標が非負なので，外側半径が3次関数，内側半径が接線になる。体積は $π \int (外半径^{2} - 内半径^{2}) d x$ で表し，最後は多項式を展開して積分する。

解答

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ とおく。微分すると $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x - 1$ であり，点 $(1, 0)$ における傾きは $f^{'} (1) = 3 - 4 - 1 = - 2$ である。したがって接線 $l$ は $y = - 2 (x - 1) = - 2 x + 2$ である。

曲線と接線の差をとると

f (x) - (- 2 x + 2) = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 + 2 x - 2 = x^{3} - 2 x^{2} + x = x (x - 1)^{2}

である。よって交点は $x = 0, 1$ であり， $0 < x < 1$ では $x (x - 1)^{2} > 0$ だから，曲線 $y = f (x)$ は接線 $l$ より上にある。またこの区間では $- 2 x + 2 ≧ 0, f (x) ≧ - 2 x + 2 ≧ 0$ である。

したがって，求める体積 $V$ は $V = π \int_{0}^{1} {f (x)^{2} - (- 2 x + 2)^{2}} d x$ である。ここで

f (x)^{2} - (- 2 x + 2)^{2} = {f (x) - (- 2 x + 2)} {f (x) + (- 2 x + 2)} = x (x - 1)^{2} (x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 4) = x^{6} - 4 x^{5} + 2 x^{4} + 8 x^{3} - 11 x^{2} + 4 x

である。よって

\int_{0}^{1} {f (x)^{2} - (- 2 x + 2)^{2}} d x = [\frac{x ^{7}}{7} - \frac{2 x ^{6}}{3} + \frac{2 x ^{5}}{5} + 2 x^{4} - \frac{11 x ^{3}}{3} + 2 x^{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{7} - \frac{2}{3} + \frac{2}{5} + 2 - \frac{11}{3} + 2 = \frac{22}{105}

である。したがって $V = \frac{22 π}{105}$ である。

京都大学 2007年度文系数学 第2問

問題

方針

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文系数学第2問