京都大学 2006年度理系数学第6問解答・解説

問題

$0 < α < \frac{π}{2}$ として，関数 $F$ を $F (θ) = \int_{0}^{θ} x cos (x + α) d x$ で定める． $θ$ が $[0, \frac{π}{2}]$ の範囲を動くとき， $F$ の最大値を求めよ．

出典：京都大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

積分で定義された関数なので，まず微分して増減を調べる。 $F^{'} (θ) = θ cos (θ + α)$ であり， $θ > 0$ では符号は $cos (θ + α)$ で決まる。 $0 < α < π /2$ より，符号が変わる点は $θ = π /2 - α$ である。最大点を決めた後，部分積分で $F (θ)$ を計算し，その点での値を求める。端点 $θ = 0, π /2$ ではなく内部で最大になることも増減から確認する。

解答

微分すると，積分の上端が $θ$ であるから $F^{'} (θ) = θ cos (θ + α)$ である。 $0 < α < π /2$ なので $0 < \frac{π}{2} - α < \frac{π}{2}$ である。区間 $0 < θ < π /2 - α$ では $0 < θ + α < π /2$ より $cos (θ + α) > 0$ だから $F^{'} (θ) > 0$ である。一方， $π /2 - α < θ ≦ π /2$ では $π /2 < θ + α < π$ となるので $cos (θ + α) < 0$ であり， $F^{'} (θ) < 0$ である。

したがって $F$ は $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2} - α$ で増加し， $\frac{π}{2} - α ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ で減少する。よって最大は $θ = \frac{π}{2} - α$ でとる。

次に値を求める。部分積分により $\int x cos (x + α) d x = x sin (x + α) + cos (x + α)$ である。したがって

F (θ) = [x sin (x + α) + cos (x + α)]_{0}^{θ} = θ sin (θ + α) + cos (θ + α) - cos α

である。ここに $θ = π /2 - α$ を代入すると

sin (\frac{π}{2}) = 1, cos (\frac{π}{2}) = 0

より $F (\frac{π}{2} - α) = \frac{π}{2} - α - cos α$ である。よって最大値は $\frac{π}{2} - α - cos α$ である。なお， $u = π /2 - α$ とおけばこの値は $u - sin u$ であり， $0 < u < π /2$ では正であることも増減と一致している。

京都大学 2006年度理系数学 第6問

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理系数学第6問