問題
2以上の自然数に対し，とがともに素数になるのはの場合に限ることを示せ．
出典：京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
自身が素数であることから，まず偶数の場合は に限られる。次に3で割った余りを見る。 は実際に条件を満たすので候補として残し， が3で割り切れない場合は から が3の倍数になることを示す。最後に を確認して，素数でないと結論する。
解答
と がともに素数であるとする。
まず が偶数なら， かつ が素数であることから である。しかしこのとき であり，これは素数ではない。したがって条件を満たす は偶数ではない。
次に3で割った余りを考える。もし が3で割り切れるなら， が素数であることから である。このとき であり，確かに も も素数である。
残るのは， が3で割り切れない場合である。このとき を3で割った余りは1または2なので である。したがって となり， は3で割り切れる。さらに だから であり，3で割り切れる は素数ではない。
以上より，条件を満たすのは の場合に限る。