京都大学 2006年度理系数学第5問解答・解説

問題

$△ A B C$ に対し，辺 $A B$ 上に点 $P$ を，辺 $B C$ 上に点 $Q$ を，辺 $C A$ 上に点 $R$ を，頂点とは異なるようにとる．この3点がそれぞれの辺上を動くとき，この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ．

出典：京都大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

点 $P, Q, R$ をそれぞれ辺上の比で表し，三角形 $P QR$ の重心 $G$ を $A, B, C$ の重みで読む。各係数は正で，しかもどれも $2/3$ より小さいことが分かるので，範囲は三角形 $A B C$ の内部から3つの頂点側の小三角形を除いた中央部分になる。逆に，その条件を満たす任意の重みから $s, t, u$ を選べることを示して，図示した範囲全体が実際に動けることを確認する。

解答

点 $A, B, C$ の位置ベクトルをそれぞれ $a, b, c$ とする。 $P, Q, R$ はそれぞれ辺の頂点以外の点なので，

p = (1 - s) a + s b, q = (1 - t) b + t c, r = (1 - u) c + u a

と書ける。ただし $0 < s < 1, 0 < t < 1, 0 < u < 1$ である。

三角形 $P QR$ の重心を $G$ とすると $g = \frac{p + q + r}{3}$ である。これを $a, b, c$ の係数で整理すると $g = α a + β b + γ c$ ただし

α = \frac{1 - s + u}{3}, β = \frac{s + 1 - t}{3}, γ = \frac{t + 1 - u}{3}

である。明らかに $α + β + γ = 1$ であり， $0 < s, t, u < 1$ より $0 < α < \frac{2}{3}, 0 < β < \frac{2}{3}, 0 < γ < \frac{2}{3}$ が成り立つ。したがって $G$ は三角形 $A B C$ の内部にあり，しかもどの頂点に対応する重みも $2/3$ 以上にはならない。

逆に，三角形 $A B C$ の内部の点 $G$ が

g = α a + β b + γ c, α + β + γ = 1

と表され，さらに $0 < α, β, γ < \frac{2}{3}$ を満たすとする。このとき $max (0, 1 - 3 α, 3 β - 1) < s < min (1, 2 - 3 α, 3 β)$ を満たす $s$ を選べる。実際，この区間が空でないことは， $α, β, γ > 0$ と $α, β, γ < 2/3$ から $1 - 3 α < 3 β, 3 β - 1 < 2 - 3 α$ などが成り立つことで確認できる。そこで $t = 1 + s - 3 β, u = 3 α - 1 + s$ とおけば， $0 < s, t, u < 1$ となり，上の式からこの $G$ が実際に重心として得られる。

よって求める範囲は $0 < α, β, γ < \frac{2}{3}, α + β + γ = 1$ を満たす点 $G = α A + β B + γ C$ 全体である。図示すると，三角形 $A B C$ の各頂点から出る2辺上の三等分点のうち頂点に近い点どうしを結ぶ。これにより各頂点側にできる3つの小三角形を取り除き，残った中央の六角形の内部が求める範囲である。境界は $P, Q, R$ が頂点に近づく極限でしか得られないため含まない。

京都大学 2006年度理系数学 第5問

問題

方針

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理系数学第5問