問題
点を原点とする座標空間の3点を，，とする．線分と線分が交点を持つような実数が存在することを示せ．またそのとき，交点の座標を求めよ．
出典：京都大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
線分 上の点と線分 上の点をそれぞれパラメータ表示し，3つの座標を比較する。未知数は線分 上の比，線分 上の比，そして問題で与えられた の3つである。連立方程式をそのまま解き，最後に得られた2つの比がどちらも に入ることを確認すれば，直線ではなく線分どうしの交点であることまで示せる。
解答
線分 上の点は， を用いて と表せる。一方，線分 上の点は， を用いて と表せる。
この2点が一致するとして各成分を比較すると
(2)から(1)を引くと である。また，(3)に(1)を加えると すなわち である。したがって である。左辺は1なので であり， から を得る。このとき より である。さらに(1)より である。， はどちらも に入るので，実際に線分 と線分 は交わる。
交点は線分 の表示に代入して である。よって交点の座標は であり，そのときの実数は である。