京都大学 2006年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$H > 0, R > 0$ とする。原点 $O$ と点 $P (R, 0, H)$ を結ぶ線分を $z$ 軸のまわりに回転させてできる容器に水を満たす。原点から水面までの高さが $h$ のとき、時刻 $t$ までの排水量 $V (t)$ が $\frac{d V}{d t} = h$ を満たす。すべての水を排出するのに要する時間を求めよ。

出典：京都大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

高さ $h$ のときに残っている水は相似な円錐なので、その体積 $W (h)$ を求める。排出量の増加は残量の減少に等しいため、 $- d W / d t = h$ として変数分離し、 $h = H$ から0まで積分する。

解答

高さ $z$ における容器の半径は相似により $R z / H$ である。したがって、水面の高さが $h$ のときに残っている水の体積を $W (h)$ とすると

W (h) = \frac{1}{3} π (\frac{R h}{H})^{2} h = \frac{π R ^{2}}{3 H ^{2}} h^{3} .

よって

\frac{d W}{d h} = \frac{π R ^{2}}{H ^{2}} h^{2} .

排出量の増加は残量の減少に等しいので

- \frac{d W}{d t} = \frac{d V}{d t} = h .

連鎖律を用いると

- \frac{π R ^{2}}{H ^{2}} h^{2} \frac{d h}{d t} = h,

したがって

d t = - \frac{π R ^{2}}{H ^{2}} h^{3/2} d h .

満水時の $h = H$ から空になる $h = 0$ までに要する時間を $T$ とすると

T = \frac{π R ^{2}}{H ^{2}} \int_{0}^{H} h^{3/2} d h = \frac{π R ^{2}}{H ^{2}} \cdot \frac{2}{5} H^{5/2} = \frac{2 π R ^{2} H}{5} .

京都大学 2006年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

京都大学 2006年度
後期・理系数学後期第5問