京都大学 2006年度
後期・理系数学 後期 第2問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 行列（問題が明示的に行列を扱う場合、または出題範囲が許す場合のみ）、数列
- 解法
- 漸化式の変形、対称性の利用、必要十分条件、場合分け
- 難易度
- 4 / 10 計算量 3 / 10 目安 12分
問題
aを実数とし、A=(a1−a1−aa)とする。(x0y0)=(10)、(xnyn)=A(xn−1yn−1) (n=1,2,…)で数列を定める。{xn}が収束するためのaの必要十分条件を求めよ。
出典：京都大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
2本の漸化式を加えた量と引いた量を考える。和は一定、差は公比 2a−1 の等比数列になるので、xn を明示し、実数 r に対する rn の収束条件を端点まで調べる。
解答
漸化式から
xnyn=axn−1+(1−a)yn−1,=(1−a)xn−1+ayn−1
である。両式を加えると
xn+yn=xn−1+yn−1=1.
一方、両式を引くと
xn−yn=(2a−1)(xn−1−yn−1).
初期値は x0−y0=1 なので
xn−yn=(2a−1)n.
したがって
xn=21+(2a−1)n.
実数 r に対して rn が収束するのは −1<r≦1 のときである。実際、∣r∣<1 では0へ収束し、r=1 では常に1であるが、r=−1 では振動し、∣r∣>1 では収束しない。よって必要十分条件は
−1<2a−1≦1,
すなわち
0<a≦1
である。
