京都大学 2006年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

さいころを $n$ 個同時に投げるとき、出た目の数の和が $n + 3$ になる確率を求めよ。

出典：京都大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

各目から1を引き、0以上の整数 $n$ 個の和が3となる場合を、 $3$ 、 $2 + 1$ 、 $1 + 1 + 1$ の3型に分類する。和が3なので各変数の上限5は問題にならない。

第 $i$ のさいころの目を $X_{i}$ とし、 $Y_{i} = X_{i} - 1$ とおく。求める条件は

Y_{1} + Y_{2} + \dots + Y_{n} = 3, Y_{i} ≧ 0

である。この解を正の部分の形で分類する。

$3$ の型は、3となる位置を選んで $n$ 通りである。 $2 + 1$ の型は、2となる位置と1となる位置を順に選んで $n (n - 1)$ 通りである。 $1 + 1 + 1$ の型は $_{n} C_{3}$ 通りである。したがって場合の数は

n + n (n - 1) +_{n} C_{3} = n^{2} + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6} .

全事象は $6^{n}$ 通りだから、求める確率は

\frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6 \cdot 6 ^{n}}

である。