京都大学 2006年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

平面上の点 $O$ を中心とする半径1の円周上に相異なる3点 $A, B, C$ がある。 $△ A B C$ の内接円の半径 $r$ は $\frac{1}{2}$ 以下であることを示せ。

出典：京都大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

一般の三角形で外接円半径 $R$ と内接円半径 $r$ が $R ≧ 2 r$ を満たすことを、半周長とヘロンの公式から直接示す。 $x = s - a, y = s - b, z = s - c$ とおけば、必要な不等式は3回の相加相乗平均に帰着する。

三角形の辺の長さを $a, b, c$ 、半周長を $s$ 、面積を $K$ 、外接円の半径を $R$ とする。

K = r s, K = \frac{ab c}{4 R}

であり、ヘロンの公式から

K^{2} = s (s - a) (s - b) (s - c)

である。

$x = s - a, y = s - b, z = s - c$ とおくと $x, y, z > 0$ であり

a = y + z, b = z + x, c = x + y .

相加相乗平均により

(y + z) (z + x) (x + y) ≧ (2 y z) (2 z x) (2 x y) = 8 x y z .

すなわち

ab c ≧ 8 (s - a) (s - b) (s - c) .

両辺に $s$ を掛け、ヘロンの公式を使うと

ab cs ≧ 8 K^{2} .

一方、 $ab c = 4 R K$ 、 $s = K / r$ なので

\frac{4 R K ^{2}}{r} ≧ 8 K^{2} .

よって $R ≧ 2 r$ である。いま問題の三角形では $R = 1$ だから

r ≦ \frac{1}{2} .

なお等号は $x = y = z$ 、すなわち正三角形のときに成立する。