京都大学 2005年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$n$ 枚の100円玉と $n + 1$ 枚の500円玉を同時に投げる。表の出た100円玉より500円玉の枚数が多い確率を求めよ。

出典：京都大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

500円玉のうち1枚を特別に分ける。残る $n$ 枚の500円玉の表の枚数と、 $n$ 枚の100円玉の表の枚数との差は0を中心に対称である。特別な1枚が裏・表の場合を平均する。

$n$ 枚の100円玉の表の枚数を $X$ 、500円玉のうち $n$ 枚の表の枚数を $Y$ 、残り1枚が表なら1、裏なら0となる数を $Z$ とする。求める事象は

Y + Z > X

である。

$D = Y - X$ とおく。 $X, Y$ は同じ二項分布に従い独立なので、 $D$ と $- D$ の確率分布は同じである。したがって

P (D > 0) = P (D < 0) .

$Z = 0, 1$ はそれぞれ確率 $1/2$ で起こるから

P (D + Z > 0) = \frac{1}{2} P (D > 0) + \frac{1}{2} P (D ≧ 0) = \frac{1}{2} {2 P (D > 0) + P (D = 0)} = \frac{1}{2} .

最後の等式では $2 P (D > 0) + P (D = 0) = 1$ を用いた。よって求める確率は

\frac{1}{2}

である。