京都大学 2005年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

曲線 $C : y = x^{3}$ の $x > 0$ の部分上の点 $P$ における接線と $x$ 軸の交点を $Q$ 、法線と $y$ 軸の交点を $R$ とする。 $P$ が動くとき $O R / O Q$ の最小値を求めよ。

出典：京都大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

$P = (t, t^{3})$ と置き、接線と法線の切片から $O Q, O R$ を求める。比は $(3 t^{2} + t^{- 2}) /2$ となるので、 $u = t^{2} > 0$ として相加相乗平均で最小化する。

$P = (t, t^{3})$ とおく。ただし $t > 0$ である。接線は

y - t^{3} = 3 t^{2} (x - t)

だから、 $y = 0$ として

Q = (\frac{2 t}{3}, 0), O Q = \frac{2 t}{3} .

法線の傾きは $- 1/ (3 t^{2})$ なので

y - t^{3} = - \frac{x - t}{3 t ^{2}} .

$x = 0$ とすれば

R = (0, t^{3} + \frac{1}{3 t}), O R = t^{3} + \frac{1}{3 t} .

よって

\frac{O R}{O Q} = \frac{3}{2} t^{2} + \frac{1}{2 t ^{2}} = \frac{1}{2} (3 t^{2} + \frac{1}{t ^{2}}) .

相加相乗平均により

3 t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} ≧ 23 .

等号は $3 t^{2} = 1/ t^{2}$ 、すなわち $t^{4} = 1/3$ のときに成立する。したがって最小値は

3

である。