京都大学 2005年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$A_{1} = (21), A_{2} = (31)$ 、 $A_{n + 2} = (11 1 - 1) A_{n + 1} + (01 - 1 0) A_{n}$ で定まる2次元列ベクトル $A_{n}$ を求めよ。

出典：京都大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

初めの数項を計算すると、偶数番目と奇数番目で成分がそれぞれ1次式になる。 $A_{2 k}$ と $A_{2 k - 1}$ の組を予想し、漸化式へ代入する2段階の帰納法で示す。

初めの数項は

A_{1} = (21), A_{2} = (31), A_{3} = (34), A_{4} = (62)

である。これから

A_{2 k - 1} = (k + 1 3 k - 2), A_{2 k} = (3 k k) (k = 1, 2, \dots)

と予想する。

ある $k$ でこの2式が成り立つとする。漸化式へ代入すると

A_{2 k + 1} = (11 1 - 1) (3 k k) + (01 - 1 0) (k + 1 3 k - 2) = (k + 2 3 k + 1),

さらに

A_{2 k + 2} = (11 1 - 1) (k + 2 3 k + 1) + (01 - 1 0) (3 k k) = (3 k + 3 k + 1) .

これは $k$ を $k + 1$ に替えた式である。 $k = 1$ では初期値から成り立つので、数学的帰納法により上の公式が全ての $k ≧ 1$ で成り立つ。