京都大学 2005年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$n < \int_{10}^{100} lo g_{10} x d x$ を満たす最大の自然数 $n$ を求めよ。ただし $0.434 < lo g_{10} e < 0.435$ である。

出典：京都大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

$\int lo g_{10} x d x = x lo g_{10} x - x lo g_{10} e$ を使って積分値を $190 - 90 lo g_{10} e$ と表す。与えられた小数評価から積分値を連続する整数150と151の間に挟む。

$L = lo g_{10} e$ とおく。部分積分により

\int lo g_{10} x d x = x lo g_{10} x - xL

だから

\int_{10}^{100} lo g_{10} x d x = (200 - 100 L) - (10 - 10 L) = 190 - 90 L .

与えられた評価から

190 - 90 \cdot 0.435 < 190 - 90 L < 190 - 90 \cdot 0.434,

すなわち

150.85 < \int_{10}^{100} lo g_{10} x d x < 150.94.

したがって、この積分値より小さい最大の自然数は

n = 150

である。