問題
複素数の絶対値をであらわす．を満たす実数が存在するような複素数の範囲を，複素平面上で図示せよ．(ただし，は虚数単位をあらわす．)(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)
出典：京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 第4問
方針
と置くと、 である。 が実数全体を動くとき、実部は に固定され、虚部だけが自由に動く。したがってこの点は複素平面上の縦直線を動く。条件は、その縦直線が原点中心半径1の円板と交わることに等しいので、直線と原点との距離が1以下である条件 に直す。
解答
とおく。このとき である。 が実数全体を動くと、実部 は変わらず、虚部 はすべての実数値を取り得る。したがって点 は、複素平面上の直線 上を動く。
条件 を満たす実数 が存在することは、この直線が原点中心、半径1の円板と共有点をもつことと同値である。縦直線 と原点との距離は であるから、必要十分条件は である。
これを整理すると すなわち である。よって求める範囲は、複素平面上で を満たす縦の帯状領域である。境界直線 および も含む。