京都大学 2004年度後期・文系数学第2問解答・解説

問題

$x ≧ 0$ に対して，関数 $f (x)$ を次のように定義する．

f (x) = {x 0 (0 ≦ x ≦ 1 のとき) (x > 1 のとき)

自然数 $k$ に対して， $\int_{0}^{3} f (\frac{x ^{2}}{k}) d x$ を求めよ．

出典：京都大学 2004年度後期日程第2次学力試験後期・文系第2問

方針

$f (x^{2} / k)$ が0でないのは、入力 $x^{2} / k$ が $[0, 1]$ に入るときだけである。積分区間では $x ≧ 0$ なので、これは $0 ≦ x ≦ k$ と同値である。したがって実際の積分区間は $[0, 3]$ と $[0, k]$ の重なりになる。 $k ≦ 3$ 、つまり $k ≦ 9$ の場合と、 $k ≧ 9$ の場合に分けて計算する。

解答

$0 ≦ x ≦ 3$ で考える。関数 $f (u)$ は、 $0 ≦ u ≦ 1$ では $f (u) = u$ 、 $u > 1$ では $f (u) = 0$ である。ここでは $u = x^{2} / k$ であり、 $k$ は自然数なので $u ≧ 0$ である。

したがって $f (\frac{x ^{2}}{k})$ が0でないのは $\frac{x ^{2}}{k} ≦ 1$ のときである。 $x ≧ 0$ だから、これは $0 ≦ x ≦ k$ と同値である。この範囲では $f (\frac{x ^{2}}{k}) = \frac{x ^{2}}{k}$ である。

まず $1 ≦ k ≦ 9$ のとき、 $k ≦ 3$ である。よって

\int_{0}^{3} f (\frac{x ^{2}}{k}) d x = \int_{0}^{k} \frac{x ^{2}}{k} d x = \frac{1}{k} [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{k} = \frac{k}{3}

である。

次に $k ≧ 9$ のとき、 $0 ≦ x ≦ 3$ なら常に $x ≦ k$ である。したがって積分区間全体で $f (\frac{x ^{2}}{k}) = \frac{x ^{2}}{k}$ となり、

\int_{0}^{3} f (\frac{x ^{2}}{k}) d x = \int_{0}^{3} \frac{x ^{2}}{k} d x = \frac{9}{k}

である。 $k = 9$ ではどちらの式も $1$ になり一致する。したがって

\int_{0}^{3} f (\frac{x ^{2}}{k}) d x = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k}{3} \frac{9}{k} (1 ≦ k ≦ 9), (k ≧ 9)

である。

京都大学 2004年度後期・文系数学 第2問

問題

方針

解答

京都大学 2004年度
後期・文系数学第2問