問題
実数に対して，2つの放物線，を考える．，がである交点を2つ持つようなの範囲を求めよ．
出典：京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 第1問
方針
2つの放物線の交点の 座標は、両式を等置して得られる2次方程式の解である。交点が2つあるための判別式条件に加え、どちらの交点も でなければならない。交点は 上にあるため、 は と同値である。2つの根を と表し、大きい根が より小さい条件を調べれば、小さい根も自動的に範囲内に入る。
解答
交点の 座標は を満たす。整理すると すなわち である。
この方程式が異なる2つの実数解をもつためには、判別式が正であればよい。判別式は であるから、まず が必要である。このとき解は である。
交点は 上にあるので、交点で となる条件は すなわち である。
ここで とおくと、2つの解は と である。大きい方の解 が より小さければ、 となるので、小さい方の解も自動的に に入る。したがって条件は である。これは すなわち である。両辺は正なので2乗して を得る。よって である。
以上を合わせると、求める範囲は である。