問題
関数が次の2つの性質(1)，(2)を持つという．
(1) 任意の実数，に対して，が成り立つ．
(2)
このとき，であることを証明せよ．(ただし，は実数であるとする．)
出典：京都大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 第3問
方針
まず を使って を確認する。次に加法性を繰り返して と表す。 は実数であると仮定されているので、実数の3乗が8になる値は一意に である。余計な連続性や単調性は使わず、与えられた2条件だけで示す。
解答
条件(1)で , とすると である。すなわち である。条件(2)より だから、両辺を で割って を得る。
次に、条件(1)を繰り返して用いると
である。条件(2)より なので である。
ここで は実数である。実数 について なら であるから、 である。