京都大学 2002年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$- π /2 ≦ x ≦ π /2$ で $f (x) + \int_{- π /2}^{π /2} sin (x - y) f (y) d y = x + 1$ を満たす $f (x)$ を求めよ。

出典：京都大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

$sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y$ と展開し、積分全体を二つの定数 $A, B$ で表す。得られた $f = x + 1 - A sin x + B cos x$ をA,Bの定義へ戻して2元一次方程式を解く。

A = \int_{- π /2}^{π /2} cos y f (y) d y, B = \int_{- π /2}^{π /2} sin y f (y) d y

とおく。加法定理により与式は

f (x) = x + 1 - A sin x + B cos x

となる。これを $A, B$ の定義へ代入する。区間の対称性と

\int_{- π /2}^{π /2} cos^{2} y d y = \int_{- π /2}^{π /2} sin^{2} y d y = \frac{π}{2}

を用いると

A = 2 + \frac{π}{2} B, B = 2 - \frac{π}{2} A .

これを解いて

A = \frac{4 ( 2 + π )}{4 + π ^{2}}, B = \frac{4 ( 2 - π )}{4 + π ^{2}} .

したがって

f (x) = x + 1 - \frac{4 ( 2 + π )}{4 + π ^{2}} sin x + \frac{4 ( 2 - π )}{4 + π ^{2}} cos x .

この式から得られる $A, B$ は上の連立方程式を満たすので、元の積分方程式への代入により実際に成立する。