京都大学 2002年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

楕円 $x^{2} + y^{2} /4 = 1$ と円 $(x - a)^{2} + y^{2} = b$ $(b > 0)$ が相異なる4点で交わるとき、点 $(a, b)$ の範囲を図示せよ。

出典：京都大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

楕円から $y^{2} = 4 (1 - x^{2})$ を得て円へ代入すると、交点の $x$ 座標を与える二次方程式になる。4交点の条件は、その方程式が区間 $(- 1, 1)$ に異なる2根をもつことと同値である。頂点と両端での符号から条件をまとめる。

楕円上では $y^{2} = 4 (1 - x^{2})$ である。円の式へ代入すると、交点の $x$ 座標は

h (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b - a^{2} - 4 = 0

を満たす。相異なる4交点をもつための必要十分条件は、 $h$ が $(- 1, 1)$ に異なる2根をもつことである。

上に開く二次関数なので、この条件は、軸が区間内にあり、判別式が正で、両端の値が正であること、すなわち

∣ a ∣ < 3, b < 4 + \frac{4 a ^{2}}{3}, b > (a + 1)^{2}, b > (a - 1)^{2}

である。最後の二つは

b > (∣ a ∣ + 1)^{2}

とまとめられる。よって求める範囲は

∣ a ∣ < 3, (∣ a ∣ + 1)^{2} < b < 4 + \frac{4 a ^{2}}{3} .

これは $a = 0$ に関して対称で、下側の二つの放物線 $b = (a \pm 1)^{2}$ の外側包絡線と、上側の放物線 $b = 4 + 4 a^{2} /3$ の間の開領域である。境界は含まない。