京都大学 2002年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

最高次係数1の $n$ 次多項式 $f (x)$ について、相異なる有理数 $q_{1}, \dots, q_{n}$ で $f (q_{1}), \dots, f (q_{n})$ がすべて有理数なら、 $f$ の全係数が有理数であることを帰納法で示せ。

出典：京都大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

一つの評価点 $q_{n}$ を使って差 $f (x) - f (q_{n})$ を $x - q_{n}$ で割る。商は最高次係数1の $n - 1$ 次式で、残りの $n - 1$ 個の有理点で有理値を取るため、帰納法の仮定を適用できる。

$n = 1$ のとき $f (x) = x + c$ と書け、 $c = f (q_{1}) - q_{1}$ は有理数なので主張は成り立つ。

$n - 1$ 次まで主張が成り立つと仮定する。 $f (x) - f (q_{n})$ は $x - q_{n}$ で割り切れるので

g (x) = \frac{f ( x ) - f ( q _{n} )}{x - q _{n}}

とおく。 $g$ は最高次係数1の $n - 1$ 次多項式である。また $i = 1, \dots, n - 1$ に対して

g (q_{i}) = \frac{f ( q _{i} ) - f ( q _{n} )}{q _{i} - q _{n}}

は有理数である。 $q_{1}, \dots, q_{n - 1}$ は相異なるので、帰納法の仮定から $g (x)$ の全係数は有理数である。

最後に

f (x) = (x - q_{n}) g (x) + f (q_{n})

であり、 $q_{n}, f (q_{n})$ も有理数だから、 $f (x)$ の全係数は有理数である。よって数学的帰納法によりすべての $n$ で示された。