京都大学 2002年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$a_{1} = 3, b_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 b_{n}^{2}, b_{n + 1} = 2 a_{n} b_{n}$ とする。

(1) $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2}$ を求めよ。

(2) $lim a_{n} / b_{n}$ を求めよ。

出典：京都大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

二つの漸化式を $a_{n} + 2 b_{n}$ の平方としてまとめる。共役な式も同時に使えば、(1)は積、(2)は和と差から明示できる。

漸化式から

a_{n + 1} + 2 b_{n + 1} = (a_{n} + 2 b_{n})^{2},

a_{n + 1} - 2 b_{n + 1} = (a_{n} - 2 b_{n})^{2} .

両式を掛けると

a_{n + 1}^{2} - 2 b_{n + 1}^{2} = (a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2})^{2} .

初期値では $a_{1}^{2} - 2 b_{1}^{2} = 9 - 8 = 1$ だから

a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = 1

である。

$m = 2^{n - 1}$ とおくと、平方を繰り返して

a_{n} + 2 b_{n} = (3 + 22)^{m}, a_{n} - 2 b_{n} = (3 - 22)^{m} .

$U = (3 + 22)^{m}, V = (3 - 22)^{m}$ と書けば

\frac{a _{n}}{b _{n}} = 2 \frac{U + V}{U - V} .

ここで

\frac{V}{U} = (\frac{3 - 2 2}{3 + 2 2})^{m} ⟶ 0

だから

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = 2 .