問題
4個の整数1，，，はを満たしている．これらの中から相異なる2個を取り出して和を作ると，からまでのすべての整数の値が得られるという．，，の値を求めよ．
出典：京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
4個の数から相異なる2個を選ぶ和は最大でも6種類しかない。一方、条件は から までの連続した整数をすべて作るというものなので、その個数 が6以下でなければならない。さらに , から を に絞り、残った少数の候補について実際に和が連続しているかを確認する。
解答
4個の整数 から相異なる2個を選ぶ方法は6通りである。したがって、作れる和の種類は多くても6個である。
一方、条件より までのすべての整数が得られる。この区間に含まれる整数の個数は である。よって が必要である。
また で整数だから、 である。したがって である。これと より である。さらに なので、 に限られる。
まず の場合を考える。このとき より である。また なので、候補は だけである。 のとき、和は であり、 から までのすべての整数が得られる。 のとき、和は であり、並べ替えると なので条件を満たす。
次に の場合を考える。このとき より である。また だから、候補は だけである。このとき和は であり、 から までのすべての整数が得られる。
以上より である。