京都大学 2002年度文系数学第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ の初項 $a_{1}$ から第 $n$ 項 $a_{n}$ までの和を $S_{n}$ と表す．この数列が $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ ， $(n - 1)^{2} a_{n} = S_{n}$ $(n ≧ 1)$ を満たすとき，一般項 $a_{n}$ を求めよ．

出典：京都大学 2002年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

和 $S_{n}$ を含む条件は、 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ を使って隣り合う式の差を取ると、 $a_{n}$ だけの漸化式に直せる。まず $n = 1, 2$ の条件が初期値と矛盾しないことを確認し、 $n ≧ 3$ で $S_{n} = (n - 1)^{2} a_{n}$ , $S_{n - 1} = (n - 2)^{2} a_{n - 1}$ を引き算する。得られる $a_{n} = \frac{n - 2}{n} a_{n - 1}$ を $a_{2} = 1$ から積で整理し、最後に $a_{1}$ だけは別に書く。

解答

$n = 1$ のとき、条件は $0^{2} a_{1} = S_{1}$ であり、 $S_{1} = a_{1} = 0$ なので成り立つ。 $n = 2$ のときは $a_{2} = S_{2} = a_{1} + a_{2}$ となり、これも $a_{1} = 0$ により成り立つ。

以下、 $n ≧ 3$ とする。条件より $S_{n} = (n - 1)^{2} a_{n}, S_{n - 1} = (n - 2)^{2} a_{n - 1}$ である。両式の差を取ると、 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ だから $a_{n} = (n - 1)^{2} a_{n} - (n - 2)^{2} a_{n - 1}$ である。これを整理すると ${(n - 1)^{2} - 1} a_{n} = (n - 2)^{2} a_{n - 1}$ であり、 $n (n - 2) a_{n} = (n - 2)^{2} a_{n - 1}$ となる。 $n ≧ 3$ では $n - 2 \neq = 0$ なので、 $a_{n} = \frac{n - 2}{n} a_{n - 1}$ を得る。 $a_{2} = 1$ から順に用いると、 $n ≧ 3$ について $a_{n} = a_{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \dots \frac{n - 2}{n}$ である。分子と分母を整理すると

a_{n} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots ( n - 2 )}{3 \cdot 4 \cdot 5 \dots n} = \frac{2}{n ( n - 1 )}

となる。この式は $n = 2$ でも $a_{2} = 1$ を与える。

したがって一般項は $a_{1} = 0, a_{n} = \frac{2}{n ( n - 1 )} (n ≧ 2)$ である。

京都大学 2002年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

京都大学 2002年度
文系数学第1問