問題
四角形を底面とする四角錐はを満たしており，0と異なる4つの実数，，，に対して4点，，，を，，，によって定める．このとき，，，が同一平面上にあればが成立することを示せ．
出典：京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
底面条件 から と表し、 を空間の基準にする。四角錐なのでこの3本は一次独立である。すると は3本の座標軸上の点になり、平面 の式を切片形 と書ける。 がこの平面上にあることを代入すれば、目標の逆数関係が直ちに出る。
解答
とおく。四角錐であるから、 は一次独立な3本のベクトルとして基準にできる。
条件
より である。したがって、基準 に関する座標で見ると、 である。 はいずれも0でないので、3点 は同一直線上にはなく、平面 を定める。この平面は3つの座標軸をそれぞれ で切るから、方程式は と書ける。
いま は同一平面上にあるので、 もこの平面上にある。よって である。 だから両辺を で割ると となる。これを移項して を得る。
別解。平面条件を差ベクトルの一次従属として計算してもよい。基準 で
である。これらが一次従属であるから
である。展開すると であり、 で割れば すなわち同じく が従う。